이상기체의 상태방정식, 내부에너지 및 엔탈피

이상기체의 상태방정식

이전에 설명드린 보일의 법칙(온도가 일정할 때 기체의 부피는 압력에 반비례한다.)과 샤를의 법칙(압력이 일정할 때 기체의 부피는 절대온도에 비례한다.)에 아보가드로의 법칙(온도와 압력이 일정할 때 기체의 부피는 몰 수에 비례한다.)을 더하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있는데 V ∝ nT / P 비례상수 R을 사용하면, V = RnT / P 또는 PV = nRT가 된다.

이 상태방정식을 이상기체의 상태방정식이라 하고 이 상태방정식을 만족하는 기체를 이상기체(ideal gas) 또는 완전기체(perfect gas)라 하며, 여기서 R은 기체상수(gas constant) 또는 특정기체상수라 부른다. 이 값은 기체의 종류마다 다르다. 

이상기체는 실제로 존재하지 않는 기체이지만 밀도가 낮은 실제기체의 P - V - T 거동은 이상기체의 상태방정식과 비슷한 거동을 보인다는 것을 실험으로 관찰된다. 압력이 낮거나 온도가 높아지면 기체의 밀도가 감소하며 이상기체와 유사한 거동을 나타낸다. 대개의 경우 공기, 산소, 수소, 질소, 헬륨, 이산화탄소 등을 이상기체로 취급할 수 있다.

 

정적비열

부피를 일정하게 유지하면서 단위질량 물질의 온도를 1도 높이는데 필요한 열량을 정적비열(Cv, specific heat at constant volume)이라 한다. 정적비열(Cv)의 단위는 다음과 같다. [Cv] = kJ/kg·K, kJ/kmol·K

열역학 제1법칙 δQ = dU + PdV에서 부피가 일정하면 dV = 0 이므로 δQ = dU가 된다. 따라서 공급된 열량(δQ)과 내부에너지 증가(dU)가 같으므로 정적비열은 부피가 일정할 때 내부에너지의 온도에 대한 미분으로 정의될 수 있다.

 

정압비열

압력을 일정하게 유지하면서 단위질량 물질의 온도를 1도 높이는데 필요한 열량을 정압비열(Cp, specific heat at constant pressure)이라 한다. 정압비열과 정적비열의 단위는 같다. [Cp] = kJ/kg·K, kJ/kmol·K

에너지 보존 방정식에서 δQ = dH - VdP

에서 압력이 일정하면 dP = 0이므로 δQ = dH이다. 즉, 압력이 일정하면 공급된 열량과 엔탈피 증가가 같으므로 정압비열은 엔탈피의 온도에 대한 미분으로 정의할 수 있다.

 

고체와 액체의 비열

비체적 또는 밀도가 일정한 물질을 비압축성(incompressible) 물질이라 한다. 비압축성 물질의 정적비열과 정압비열은 같다(Cp = Cv). 일반적으로 고체와 액체는 거의 비압축성 물질이므로 이들에 대해서는 첨자를 떼고 비열을 C로 나타낸다.

Cp = Cv = C

엔탈피의 정의 h = u + Pv의 양변을 미분하며 dh = du + Pdv + vdP이다. 부피가 일정한 비압축성 물질에서 dv = 0 이고, 액체와 고체의 비체적은 매우 작으므로(v ≈ 0) dh ≈ du가 된다.

따라서 정적비열과 정압비열의 정의에서 du = CvdT, dh = CpdT이므로 Cp = Cv = C이다.

 

이상기체의 내부에너지와 엔탈피

이상기체의 내부에너지와 엔탈피는 온도만의 함수이고, 비열과의 관계는 다음과 같다.

Cv = du / dT

Cp = dh / dT

따라서 다음 식으로부터 내부에너지와 엔탈피의 변화를 구할 수 있고,

du = CvdT dh = CpdT dU = mCvdT dH = mCpdT

질량 m의 이상기체의 온도가 T1에서 T2로 변화했을 때 비열이 일정한 경우 내부에너지와 엔탈피의 총 변화량은 아래와 같다.

ΔU = mCv(T2 - T1) ΔH = mCp(T2 - T1)

순수물질의 내부에너지는 다음과 같이 그 상태를 나타내는 두 개의 독립 상태량으로 결정된다.

u = u(T, v), u = u(T, P) 또는 u = u(P, v)

그러나 밀도가 낮은 기체에 대해서는 u가 주로 T에 의해 결정되며 P, v 등의 다른 상태량에는 크게 영향을 받지 않고, 이상기체의 경우 내부에너지가 온도만의 함수라고 알려져 있다.

Pv = RT, u = u(T) 따라서 Cv = du / dT, du = CvdT이다. 또한 h = u + Pv = u(T) + RT = h(T)이므로 이상기체의 엔탈피도 온도만의 함수가 된다. 따라서 Cp = dh / dT, dh = CpdT가 성립한다. 질량 m일 때 내부에너지와 엔탈피의 총변화량은

dU = mCvdT, dH = mCpdT로 기술되고, 비열이 일정한 경우 온도가 T1에서 T2로 변할 때 이 식을 적분하면

ΔU = mCv(T2 - T1), ΔH = mCp(T2 - T1)가 된다.